Referenciais não inerciais e forças fictícias

1 Um ônibus que freia

Você está em pé no corredor de um ônibus, sem se segurar em nada, e o motorista freia. Todo mundo sabe o que acontece: você é jogado para a frente. A pergunta que interessa aqui é outra. Quem te empurrou?

Para alguém parado na calçada, a resposta é simples e não envolve nenhum empurrão. Enquanto o ônibus freava, você continuou fazendo o que já estava fazendo, que era seguir em frente com a mesma velocidade. Não foi você que se moveu para a frente. Foi o ônibus que desacelerou embaixo dos seus pés. A Primeira Lei explica o episódio inteiro sem precisar de força nenhuma na direção do movimento. A calçada é um referencial inercial.

Para você, dentro do ônibus, a descrição é bem diferente. Você estava parado em relação ao piso e de repente passou a acelerar em relação a ele. Se a Segunda Lei vale, e a Segunda Lei diz que aceleração exige força, então alguma coisa te empurrou. Só que essa coisa não existe. Nenhum corpo te tocou, nenhum campo agiu sobre você, e ninguém consegue apontar o autor do empurrão. O ônibus freando é um referencial não inercial, e ali a conta não fecha.

As duas descrições são do mesmo fenômeno, e o que muda entre elas é o lugar de onde ele é descrito. As Leis de Newton, na forma em que são enunciadas, valem em referenciais inerciais. Descrevendo o movimento a partir de um referencial acelerado, elas deixam de fechar, e a saída habitual é acrescentar à conta forças que não correspondem a interação nenhuma. São essas que chamamos de forças fictícias, ou forças inerciais.

Essa é a situação que vamos examinar. Nos próximos tópicos vamos ver o que acontece com as Leis de Newton quando o referencial está acelerado, quais forças precisam ser inventadas para salvá-las, como reconhecer essas forças inventadas, o que elas explicam de fato no nosso planeta, e por fim qual dos dois nomes descreve melhor o que elas são.

2 O que acontece quando o referencial acelera

Um referencial não inercial, como o ônibus da seção anterior, é aquele que está acelerado em relação a um referencial inercial. Um carrossel girando é outro exemplo, mesmo que gire com velocidade constante, porque movimento circular já é movimento acelerado.

Nesses referenciais, a Segunda Lei simplesmente não funciona na forma em que a aprendemos. Um corpo pode acelerar sem que nenhuma força aja sobre ele, como você no corredor do ônibus. Isso é um problema prático sério, porque quase todos os referenciais que usamos no dia a dia são desse tipo, a começar pelo chão que estamos pisando.

Existem duas saídas. A primeira é abandonar o referencial acelerado e refazer toda a análise a partir de um referencial inercial. É sempre possível, é rigorosamente correto, e às vezes é insuportavelmente trabalhoso. A segunda saída é ficar no referencial acelerado e acrescentar à conta uma força que compense a diferença. Essa força acrescentada é o que chamamos de força fictícia.

O truque funciona porque a diferença entre as duas descrições é bem comportada. Se o referencial acelera com aceleração \(\vec{A}\), a aceleração que ele mede para qualquer corpo é menor que a verdadeira por exatamente \(\vec{A}\). Multiplicando pela massa, a força que falta para fechar a conta é \(-m\vec{A}\), com o sinal negativo indicando que ela aponta no sentido oposto ao da aceleração do referencial. É por isso que você é jogado para a frente quando o ônibus freia para trás.²

Repare no que acabamos de fazer. Não descobrimos uma força nova na natureza. Escolhemos um ponto de vista inconveniente e depois inventamos um termo matemático para consertar o estrago. A força fictícia é o preço que pagamos pela conveniência de descrever o mundo a partir de onde estamos.

3 Aceleração em linha reta: o elevador

O caso mais simples é o de um referencial que acelera em linha reta, e o exemplo clássico é o elevador, porque quase todo mundo já sentiu isso no corpo.

Suba numa balança dentro de um elevador parado e ela marcará seu peso normal. No instante em que o elevador arranca para cima, com aceleração \(A\), a balança passa a marcar mais. Do lado de fora, a explicação é direta: para você acelerar para cima, a balança precisa te empurrar com força maior que seu peso, e pela Terceira Lei você a comprime com a mesma intensidade a mais. Do lado de dentro, onde você continua parado em relação ao piso, a explicação exige uma força fictícia apontando para baixo, que se soma ao peso e faz o ponteiro subir.

O que a balança marca nesse caso é o que chamamos de peso aparente. A expressão é boa, porque deixa claro que não é o peso que mudou. O que mudou foi a situação da medida.

Agora leve o raciocínio ao extremo. Se o cabo do elevador arrebentar e ele passar a cair livremente, a aceleração do referencial torna-se igual à da gravidade. A força fictícia fica com a mesma intensidade do peso e sentido oposto, e as duas se cancelam exatamente. A balança marca zero. Você flutua.

Uma pessoa de 70 kg, com g = 10 m/s². A balança nunca mede o peso: ela mede a força com que é comprimida. Por isso o que ela marca muda quando o elevador acelera, embora a massa da pessoa e a gravidade continuem as mesmas.

É precisamente isso que acontece na Estação Espacial Internacional, e vale insistir no ponto porque o mal-entendido é muito difundido. Os astronautas não flutuam porque estejam longe da gravidade. A 400 km de altitude, a gravidade ainda vale cerca de 89% do valor que tem aqui embaixo. Eles flutuam porque a estação inteira está em queda livre permanente, e num referencial em queda livre a força fictícia cancela o peso.⁴

Guarde essa imagem. Vamos voltar a ela no final.

4 Rotação, primeira parte: a força centrífuga

Referenciais que giram são um caso mais rico, porque neles surgem duas forças fictícias diferentes, com comportamentos distintos. Começamos pela mais conhecida.

Imagine um carrossel girando e uma pessoa sentada na borda. Para quem observa do chão, a situação é clara: a pessoa descreve uma circunferência, portanto está acelerada em direção ao centro, e alguma força real precisa produzir essa aceleração. Essa força é o atrito do assento, ou a tração de uma barra, ou o encosto do banco. É a força centrípeta, e ela é real.

Para a pessoa no carrossel, a descrição é outra. Ela está parada, e nem por isso deixa de sentir o encosto do banco empurrando. Se ela está parada e há uma força empurrando para dentro, então precisa haver outra força equilibrando, apontando para fora. Essa é a força centrífuga, e ela existe apenas no referencial girante.

5 Rotação, segunda parte: a força de Coriolis

A segunda força fictícia dos referenciais girantes é bem menos intuitiva, e a diferença fundamental em relação à centrífuga é esta: ela só atua sobre corpos que estão em movimento em relação ao referencial girante. Para quem está parado no carrossel, ela é rigorosamente nula.

O melhor jeito de entender é com um disco girante e uma bola. Você está no centro do disco e lança a bola radialmente, em direção a uma marca pintada na borda. Do ponto de vista de quem observa do chão, a bola sai em linha reta e segue em linha reta, como manda a Primeira Lei. Nada de estranho acontece com ela. O que acontece é que a marca na borda se desloca enquanto a bola viaja, de modo que a bola chega na borda em outro lugar.

Do ponto de vista de quem está no disco, girando junto, a descrição é bem mais dramática. A bola sai reta e vai entortando no caminho, curvando-se para o lado, até errar o alvo. Não há nada tocando a bola, não há vento, não há atrito relevante, e ainda assim ela desvia. Para descrever esse desvio no referencial girante, é preciso postular uma força perpendicular à velocidade da bola. Essa é a força de Coriolis.

Por que o desvio é para a direita no hemisfério norte

Na Terra, o efeito da força de Coriolis sobre um corpo que se move horizontalmente é desviá-lo para a direita no hemisfério norte e para a esquerda no hemisfério sul. Vale entender de onde vem essa regra, porque ela costuma ser apresentada como se fosse arbitrária.

Considere um corpo que parte do equador em direção ao norte. No equador, ele já compartilhava o movimento do chão, que ali gira para leste a cerca de 1670 km/h. Conforme sobe em latitude, o chão embaixo dele passa a girar mais devagar, porque está mais perto do eixo de rotação. O corpo, que carrega consigo a velocidade que tinha na largada, fica adiantado em relação ao solo, ou seja, desvia para leste. Quem está indo para o norte tem o leste à sua direita.

Agora inverta. Um corpo que parte de uma latitude alta rumo ao equador chega a regiões onde o chão gira mais rápido do que ele. Agora é o solo que se adianta, e o corpo fica atrasado, ou seja, desvia para oeste. Quem está indo para o sul tem o oeste à sua direita. Nos dois casos, o desvio é para a direita.

No hemisfério sul, o mesmo raciocínio se aplica com os sinais trocados, e o desvio resulta para a esquerda.

6 De onde veio o nome

Vale contar de onde saiu essa força, porque a história não é a que a maioria das pessoas imagina.

Gaspard-Gustave de Coriolis era professor na École Polytechnique e estudava máquinas. Seu interesse era a transferência de energia em sistemas que giram, com atenção particular a rodas d'água. Em 1832 leu na Académie des Sciences um trabalho sobre o princípio das forças vivas em movimentos relativos de máquinas, e em 1835 publicou no Journal de l'École Polytechnique o artigo que acabaria tornando seu nome conhecido.^6,7

Em nenhum dos dois trabalhos ele fala de atmosfera, de furacões ou da rotação da Terra. O termo que ele usa não é "força de Coriolis", que é nome dado por outros, muito depois. Ele chamava o efeito de força centrífuga composta.

A leitura geofísica veio em seguida, por outras mãos, e o momento decisivo foi 1851, quando Léon Foucault pendurou seu pêndulo no Panthéon e transformou o efeito em evidência visível da rotação da Terra. É o tipo de trajetória que se repete com frequência na história da física: um conceito nasce resolvendo um problema de engenharia e termina explicando o clima de um planeta.

7 Como reconhecer uma força fictícia

Se essas forças produzem efeitos que sentimos no corpo, como distingui-las das forças de verdade? Há dois critérios, e ambos podem ser aplicados sem nenhuma matemática avançada.

O primeiro critério é a Terceira Lei. Toda força real é uma interação entre dois corpos, e por isso vem acompanhada de uma reação sobre o outro corpo. A Terra puxa a maçã e a maçã puxa a Terra. O banco empurra a pessoa e a pessoa empurra o banco. Agora tente encontrar a reação da força que te jogou para a frente no ônibus. Sobre qual corpo ela agiria? Não existe resposta, porque não existe o outro corpo. Forças fictícias não têm par de ação e reação, e isso é o sintoma mais confiável de que estamos lidando com uma delas.

O segundo critério é a proporcionalidade à massa. Repare que todas as expressões que apareceram aqui têm um \(m\) multiplicando: \(-m\vec{A}\), \(m\omega^2 r\), \(-2m\vec{\omega} \times \vec{v}'\). Isso não é coincidência. A força fictícia é construída a partir da aceleração do referencial, que é a mesma para todos os corpos, de modo que a força correspondente tem que ser proporcional à massa de cada um. Consequência prática: uma força fictícia produz a mesma aceleração em corpos leves e pesados.²

Esse segundo critério deveria estar te incomodando. A gravidade faz exatamente a mesma coisa. O peso também é proporcional à massa, e a gravidade também acelera igualmente corpos leves e pesados, como Galileu já defendia. Se a proporcionalidade à massa é o que denuncia uma força fictícia, o que fazemos com o peso?

Vamos deixar a pergunta em aberto por enquanto. Antes de voltar a ela, precisamos ver o que a força de Coriolis de fato explica no nosso planeta, e o que ela não explica.

8 O que a força de Coriolis explica na Terra

Quanto ela vale

Para movimentos horizontais na superfície da Terra, o que importa é a componente da rotação em torno da vertical do lugar, e ela depende da latitude. A aceleração de Coriolis horizontal fica

onde \(\omega \approx 7{,}3 \times 10^{-5}\) rad/s é a velocidade angular da Terra, \(v\) é a velocidade do corpo em relação ao solo e \(\lambda\) é a latitude. A expressão diz três coisas de uma vez: o efeito cresce com a velocidade do corpo, é máximo nos polos e é nulo no equador. Guarde a ressalva de que estamos falando de movimentos horizontais, porque logo adiante ela vai fazer diferença.

Coloque números. Para um corpo a 10 m/s em latitude de 30 graus, a aceleração de Coriolis é da ordem de \(7 \times 10^{-4}\) m/s². Comparada aos quase 10 m/s² da gravidade, é ridícula. É por isso que ninguém precisa corrigir Coriolis num experimento de queda de corpos na sala de aula.

Quando ela importa

O ponto decisivo não é a intensidade, é o tempo. Uma aceleração minúscula que age durante segundos não produz nada perceptível. A mesma aceleração agindo durante horas acumula um deslocamento considerável, porque o desvio cresce com o quadrado do tempo.

Aquele corpo a 10 m/s em latitude 30 graus se desvia menos de um milímetro no primeiro segundo. Ao longo de uma hora, o desvio acumulado passa de 4 km.

Essa é a chave para entender o assunto inteiro. A força de Coriolis importa em fenômenos que duram horas e se estendem por centenas de quilômetros. Ela é irrelevante em tudo que acontece em segundos e em poucos metros. Todos os exemplos que seguem obedecem a esse critério, e o mito da seção seguinte falha nele.

Ciclones e anticiclones

Este é o exemplo mais importante, e também o mais mal explicado por aí. Convém deixar claro desde já: a força de Coriolis não põe o ciclone para girar. O que ela faz é impedir que ele pare de girar.

Acompanhe o processo. Uma região da atmosfera fica com pressão mais baixa que a vizinhança. O ar em volta começa a se deslocar em direção a esse centro de baixa pressão, empurrado pela diferença de pressão. Se a Terra não girasse, o ar entraria direto, preencheria a região, e em pouco tempo a diferença de pressão se desfaria. Não haveria ciclone nenhum, apenas um sopro que se resolve sozinho.

Mas a Terra gira. Conforme o ar avança em direção ao centro, ele vai sendo desviado lateralmente, para a esquerda no hemisfério sul. O ar não consegue chegar ao centro: ele passa a contornar a região de baixa pressão, num equilíbrio entre a diferença de pressão, que puxa para dentro, e o desvio de Coriolis, que empurra para fora do caminho.

O resultado é uma circulação que se sustenta por dias. No hemisfério sul, onde o desvio é para a esquerda, os ciclones giram no sentido horário. No hemisfério norte, no sentido anti-horário. Nos anticiclones, que são centros de alta pressão, o ar sai do centro em vez de entrar, e os sentidos se invertem.

Uma consequência prática dessa dependência com a latitude: furacões não se formam nas proximidades imediatas do equador, tipicamente dentro de uma faixa de cerca de 5 graus. Ali o termo \(\operatorname{sen}\lambda\) é pequeno demais para segurar a circulação, e a tempestade não consegue se organizar.

Os ventos alísios

O mesmo mecanismo explica um padrão que a navegação conhece há séculos. O ar aquecido sobe na região equatorial e retorna à superfície por volta dos 30 graus de latitude, de onde escoa de volta em direção ao equador.

Se não houvesse rotação, esses ventos soprariam exatamente do norte no hemisfério norte e do sul no hemisfério sul. Com o desvio de Coriolis, eles chegam inclinados: de nordeste no hemisfério norte e de sudeste no hemisfério sul. São os ventos alísios, e a inclinação deles foi determinante nas rotas de navegação que ligaram a Europa à América.

Balística de longo alcance

Um projétil de artilharia que passa um ou dois minutos no ar percorre dezenas de quilômetros, e nesse tempo o desvio de Coriolis deixa de ser desprezível. Tabelas de tiro de longo alcance trazem correções de latitude e de direção do disparo por essa razão.

A comparação de escala é o que interessa aqui. Uma bola arremessada a 100 metros, que fica cerca de 4 segundos no ar, se desvia por Coriolis algo em torno de 1,5 cm em latitudes médias, o que nenhum arremessador vai notar.⁸ Um projétil que voa por dezenas de quilômetros erra o alvo por dezenas de metros. É a mesma força, e a diferença está inteira no tempo de voo.

O pêndulo de Foucault

O pêndulo de Foucault é o caso mais direto de todos, porque nele o efeito é o objeto do experimento e não um detalhe a corrigir.

Um pêndulo longo, uma vez posto a oscilar, mantém seu plano de oscilação. O que gira, embaixo dele, é a Terra. Para quem observa do chão, isso aparece como uma lenta rotação do plano de oscilação, e a força de Coriolis é exatamente o termo que descreve essa rotação no referencial terrestre.

A velocidade dessa precessão depende da latitude pelo mesmo fator \(\operatorname{sen}\lambda\) que já apareceu. Nos polos, o plano completa uma volta em cerca de 24 horas. Em Paris, onde Foucault fez a demonstração, leva aproximadamente 32 horas. Em São Paulo, cerca de 60 horas. E no equador o pêndulo não precessiona.

Esse experimento merece tratamento próprio, e é assunto de outro texto deste site.

9 O mito do ralo da pia

Agora que temos o critério, fica fácil entender por que a afirmação mais popular sobre a força de Coriolis é falsa.

Você provavelmente já ouviu que a água escoa girando em um sentido no hemisfério norte e no sentido contrário no hemisfério sul. A afirmação circula em livros, vídeos e programas de televisão. Ela não é falsa porque a força de Coriolis não exista, nem porque ela não atue sobre a água. É falsa porque, nessa escala, ela é pequena demais para competir com qualquer outra coisa.

Vale fazer a conta, porque ela é simples. A água caminhando para o ralo tem velocidade da ordem de centímetros por segundo. Aplicando a expressão da seção anterior, a aceleração de Coriolis correspondente fica na casa de \(10^{-6}\) m/s², contra os quase \(10\) m/s² da gravidade. A força de Coriolis sobre aquela água é da ordem de dez milhões de vezes menor que o peso dela.⁸ E, sobretudo, o escoamento inteiro dura segundos, não horas.

Qualquer coisa vence uma competição desse tipo. O formato da pia, a posição da torneira, uma corrente de ar, e principalmente a rotação residual que a água ficou tendo desde que a pia foi enchida. Nada disso é controlado, e todos esses efeitos são ordens de grandeza maiores.

Em 1962, Ascher Shapiro testou a afirmação com o cuidado que ela exigia, usando um tanque circular, água em repouso por horas e um pequeno flutuador como detector de vórtice. Ele mostrou que era possível obter vórtices em qualquer sentido, dependendo apenas de como o tanque tinha sido enchido. Silveira e Axt descrevem esses experimentos em detalhe e propõem versões caseiras, que qualquer pessoa pode reproduzir na pia do banheiro.^8,9

Há ainda um detalhe que interessa particularmente a quem vive no Brasil, e que reforça o ponto. No equador, a componente horizontal da força de Coriolis sobre corpos em movimento horizontal é nula, como mostra o fator \(\operatorname{sen}\lambda\). Boa parte do território brasileiro está em latitudes baixas, onde o efeito é bem menor do que a versão simplificada da história sugere.

A diferença entre a pia e o ciclone não é de natureza. É de escala, e a conta mostra exatamente onde está a fronteira.

10 Um nome ruim

Voltemos à pergunta que ficou em aberto.

Chamamos essas forças de fictícias porque elas não correspondem a interações entre corpos e desaparecem quando trocamos de referencial. O nome descreve bem essa origem. O problema é que ele descreve muito mal a experiência de quem está dentro do referencial acelerado. A força que te joga contra a porta do carro na curva não é fictícia no sentido de imaginária. Ela machuca. E, como acabamos de ver, uma força fictícia é capaz de organizar um furacão.

E há o incômodo da seção 7. Forças fictícias são proporcionais à massa e aceleram igualmente corpos leves e pesados, e a gravidade se comporta exatamente do mesmo modo. Dentro de um elevador fechado, sem janelas, não existe experimento local capaz de distinguir se você está parado num campo gravitacional ou acelerando no espaço vazio. Por isso parte da literatura prefere o nome forças inerciais, argumentando que, para quem as sente, seus efeitos são idênticos aos de qualquer outra força.⁴

Einstein levou esse incômodo a sério, e mais longe do que ninguém. Se não há experimento capaz de distinguir gravidade de aceleração, talvez a distinção não exista, e talvez a gravidade não seja uma força no sentido em que as outras são. Essa suspeita, que ele chamou de princípio de equivalência, é o ponto de partida da Relatividade Geral.¹⁰

O elevador em queda livre da seção 3, que parecia apenas um exemplo conveniente, é o mesmo experimento mental que reorganizou a física do século XX.