Física · Eletrodinâmica

Associação de
Resistores

Série · Paralelo · Misto · Resistência Equivalente

2026
Ponto de partida

O que a aula de circuitos deixou pronto

01 · fonte
Tensão
A fonte mantém a diferença de potencial que empurra as cargas pelo circuito. É ela que fornece a tensão U.
02 · movimento
Corrente
A corrente I é a carga que atravessa uma seção do fio a cada segundo. Ela não se gasta ao percorrer o caminho.
03 · oposição
Resistência
O resistor se opõe à passagem da corrente. A resistência R depende do material e da geometria da peça.
04 · a relação
Lei de Ohm
A expressão U = R · I amarra as três grandezas. Para a mesma resistência, dobrar a tensão dobra a corrente.
Cabe perceber que a tensão aparece aqui como U e a corrente como I. Na apresentação de circuitos elas foram escritas V e i: a grandeza é a mesma, muda só a letra.
O problema

E quando há mais de um resistor?

Até aqui, cada circuito tinha um único consumidor: uma lâmpada, um resistor, um chuveiro. Um circuito de verdade quase nunca é assim. Uma casa tem dezenas de aparelhos ligados à mesma rede, e uma placa eletrônica traz centenas de resistores no mesmo pedaço de plástico.

A pergunta desta aula é o que a fonte enxerga quando há vários resistores ligados a ela. A resposta é um número só, a resistência equivalente: o valor do resistor único que poderia substituir o conjunto inteiro sem alterar a corrente que a fonte fornece.

Há duas maneiras básicas de fazer essa ligação, em série e em paralelo, e cada uma leva a uma regra diferente de combinação. Nos próximos blocos deduzimos as duas.

U vários resistores equivale a Req
Roteiro

O que vamos explorar

01
Associação em série
Mesma corrente, tensão dividida
02
Associação em paralelo
Mesma tensão, corrente dividida
03
Associação mista
Combinando as duas regras
04
Síntese
Comparando os dois casos
01 Bloco 01

Associação em série

Associação em série

O que é uma associação em série

  • 01Os resistores são ligados um após o outro, formando um único caminho para a corrente.
  • 02Há apenas um percurso possível: a corrente que sai da fonte passa por R1, depois por R2, depois por R3, sem se dividir.
  • 03Se um resistor é removido, o caminho se abre e a corrente para em todo o circuito.
+ U R1 R2 R3 I
Associação em série

Corrente e tensão na série

A corrente é a mesma em qualquer ponto do circuito série. Como não há divisão de caminho, a mesma quantidade de carga passa, por segundo, por cada resistor.

A tensão da fonte se reparte entre os resistores: cada um sofre uma queda de tensão proporcional à sua resistência, e a soma das quedas é igual à tensão total.

corrente
I = I1 = I2 = I3
tensão
U = U1 + U2 + U3
Associação em série

Deduzindo a resistência equivalente

Pela lei de Ohm, cada resistor sofre uma queda de tensão proporcional à sua resistência:Ui = Ri · I
A tensão da fonte se reparte entre os três resistores:U = U1 + U2 + U3
Substituindo cada queda pela expressão da lei de Ohm:U = R1 · I + R2 · I + R3 · I
A corrente é a mesma nos três, e por isso pode ser posta em evidência:U = (R1 + R2 + R3) · I
Associação em série

A regra da associação em série

Aplicando a lei de Ohm ao circuito inteiro, com o resistor equivalente no lugar dos três:U = Req · I
Comparando essa expressão com a anterior, sobra a regra da associação em série:Req = R1 + R2 + R3
E, para um número qualquer de resistores ligados em série:Req = R1 + R2 + ... + Rn
Cabe perceber que Req é sempre maior que a maior das resistências do grupo. Acrescentar resistor em série é alongar o caminho único da corrente, e isso só pode dificultar a passagem.
Série · no dia a dia

A série ao seu redor

Proteção
Fusível e disjuntor
Entram em série com o circuito que protegem. A corrente que passa por eles é a mesma que passa pelos aparelhos, e interromper ali interrompe tudo.
Limitação
Resistor com LED
Um LED queima se receber corrente demais. O resistor em série fica com parte da tensão e fixa a corrente do conjunto.
Falha única
Pisca-pisca antigo
Os cordões antigos traziam as lâmpadas em série. Uma queimava e o cordão inteiro apagava, porque o caminho único se abria.
Medida
Amperímetro
Para medir a corrente de um trecho, o aparelho é ligado em série com ele. Só assim a corrente medida é a mesma que circula no circuito.
Medindo no circuito

Amperímetro

O que mede
Corrente
A corrente que atravessa o trecho onde ele está, medida em ampères.
Como se liga
Em série
O circuito é aberto num ponto e o aparelho entra ali, no caminho da corrente.
A idealização
RA = 0
Sem resistência própria, ele não altera a corrente que foi medir.
O erro comum
Em paralelo
Ligado assim, vira um caminho de resistência quase nula: um curto-circuito.
+ U A amperímetro R I entra no caminho da corrente, em série
no esquema
1,5 V 1,5 V + − A 0,25 A pilhas · fonte amperímetro em série lâmpada
na bancada
Exemplos · Série

Exemplo 1

Três resistores em série, R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω e R3 = 30 Ω, ligados a uma fonte de U = 60 V.
60 V 10 Ω 20 Ω 30 Ω
Pede-se
aA resistência equivalente Req
bA corrente I no circuito
cA tensão em cada um dos três resistores
Exemplos · Série

Exemplo 1 · solução

R1 = 10 Ω · R2 = 20 Ω · R3 = 30 Ω · U = 60 V
60 V 10 Ω 20 Ω 30 Ω
1
Em série, a resistência equivalente é a soma das três resistências:Req = 10 + 20 + 30 = 60 Ω
2
A corrente do circuito sai da lei de Ohm aplicada ao resistor equivalente:I = U / Req = 60 / 60 = 1 A
3
Essa mesma corrente atravessa os três resistores, e cada queda vem da lei de Ohm:U1 = 10 · 1 = 10 VU2 = 20 · 1 = 20 VU3 = 30 · 1 = 30 V
✓
A soma das três quedas devolve a tensão da fonte:10 + 20 + 30 = 60 V = U
Exemplos · Série

Exemplo 2

Dois resistores em série, R1 = 15 Ω e R2 = 45 Ω, ligados a uma bateria de U = 12 V.
12 V 15 Ω 45 Ω
Pede-se
aA resistência equivalente Req
bA corrente I no circuito
cA tensão em cada um dos dois resistores
Exemplos · Série

Exemplo 2 · solução

R1 = 15 Ω · R2 = 45 Ω · U = 12 V
12 V 15 Ω 45 Ω
1
Em série, basta somar as duas resistências:Req = 15 + 45 = 60 Ω
2
A corrente sai da lei de Ohm aplicada ao resistor equivalente:I = U / Req = 12 / 60 = 0,2 A
3
A mesma corrente de 0,2 A atravessa os dois resistores:U1 = 15 · 0,2 = 3 VU2 = 45 · 0,2 = 9 V
✓
As duas quedas somam a tensão da fonte:3 + 9 = 12 V = U
Exemplos · Série

Exemplo 3

Três resistores iguais, R = 8 Ω cada, em série, ligados a uma fonte de U = 24 V.
24 V 8 Ω 8 Ω 8 Ω
Pede-se
aA resistência equivalente Req
bA corrente I no circuito
cA tensão em cada um dos três resistores
Exemplos · Série

Exemplo 3 · solução

R1 = R2 = R3 = 8 Ω · U = 24 V
24 V 8 Ω 8 Ω 8 Ω
1
Com três resistores iguais, a soma é o triplo de um deles:Req = 3 · 8 = 24 Ω
2
A corrente sai da lei de Ohm aplicada ao resistor equivalente:I = U / Req = 24 / 24 = 1 A
3
Resistências iguais sob a mesma corrente ficam com quedas iguais:U1 = U2 = U3 = 8 · 1 = 8 V
✓
As três quedas iguais somam a tensão da fonte:3 · 8 = 24 V = U
02 Bloco 02

Associação em paralelo

Associação em paralelo

O que é uma associação em paralelo

  • 01Os resistores são ligados entre os mesmos dois nós, formando ramos independentes.
  • 02A corrente da fonte se divide entre os ramos e volta a se juntar depois — cada ramo é um caminho alternativo.
  • 03Se um ramo é interrompido, a corrente continua circulando pelos demais — como as luzes de uma casa.
+ U R1 R2 R3
Associação em paralelo

Tensão e corrente no paralelo

Todos os resistores estão ligados entre os mesmos dois nós, portanto têm a mesma diferença de potencial em seus terminais.

A corrente total se divide entre os ramos. Pela lei de Ohm, o ramo de menor resistência conduz a maior corrente.

tensão
U = U1 = U2 = U3
corrente
I = I1 + I2 + I3
Associação em paralelo

Deduzindo a resistência equivalente

Todos os ramos estão ligados aos mesmos dois nós, e por isso têm a mesma tensão. Pela lei de Ohm, a corrente de cada ramo é:Ii = U / Ri
A corrente que sai da fonte é a soma das correntes dos ramos:I = I1 + I2 + I3
Substituindo cada corrente pela expressão da lei de Ohm:I = U / R1 + U / R2 + U / R3
A tensão é a mesma nos três ramos, e por isso pode ser posta em evidência:I = U · (1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3)
Associação em paralelo

A regra da associação em paralelo

Aplicando a lei de Ohm ao circuito inteiro, com o resistor equivalente no lugar dos três:I = U / Req
Comparando essa expressão com a anterior, sobra a regra da associação em paralelo:1 / Req = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3
Com apenas dois resistores, isolar Req dá uma forma mais prática de usar:Req = R1 · R2 / (R1 + R2)
E com n resistores de mesmo valor R:Req = R / n
Req é sempre menor que a menor das resistências do grupo. Cada ramo acrescentado é mais um caminho aberto à corrente, e caminhos em paralelo facilitam a passagem.
Paralelo · no dia a dia

O paralelo ao seu redor

Instalação
Tomadas e lâmpadas
Todos os pontos de uma casa são ligados em paralelo à rede. É o que garante a mesma tensão em cada um deles.
Independência
Uma lâmpada queima
Cada ponto é um ramo próprio. A lâmpada que queima abre apenas o seu ramo, e as demais continuam acesas.
Sobrecarga
Régua de tomadas
Cada aparelho ligado é mais um caminho, e a resistência equivalente cai. A corrente total sobe, a régua esquenta e o disjuntor desarma.
Medida
Voltímetro
O aparelho é ligado em paralelo com o trecho medido, porque em paralelo a tensão nos dois é a mesma.
Medindo no circuito

Voltímetro

O que mede
Tensão
A diferença de potencial entre dois pontos, medida em volts.
Como se liga
Em paralelo
As pontas encostam nos dois extremos do trecho, sem abrir o circuito.
A idealização
RV → ∞
Sem deixar passar corrente, ele não desvia nada do circuito que foi medir.
O erro comum
Em série
Ligado assim, quase interrompe o circuito, e a corrente cai a quase zero.
+ U R V voltímetro I fica ao lado do resistor, em paralelo
no esquema
1,5 V 1,5 V + − V 2,8 V pilhas · fonte voltímetro em paralelo lâmpada
na bancada
Exemplos · Paralelo

Exemplo 1

Dois resistores em paralelo, R1 = 6 Ω e R2 = 3 Ω, ligados a uma fonte de U = 12 V.
12 V 6 Ω 3 Ω
Pede-se
aA corrente em cada ramo
bA corrente total I
cA resistência equivalente Req
Exemplos · Paralelo

Exemplo 1 · solução

R1 = 6 Ω · R2 = 3 Ω · U = 12 V
12 V 6 Ω 3 Ω
1
Os dois ramos estão ligados aos mesmos dois nós, e recebem a tensão inteira da fonte:U1 = U2 = U = 12 V
2
A corrente de cada ramo sai da lei de Ohm, com essa tensão:I1 = 12 / 6 = 2 AI2 = 12 / 3 = 4 A
3
A corrente que sai da fonte é a soma das correntes dos ramos:I = 2 + 4 = 6 A
4
Com dois resistores, a resistência equivalente sai do produto sobre a soma:Req = 6 · 3 / (6 + 3) = 18 / 9 = 2 Ω
✓
A lei de Ohm no resistor equivalente devolve a mesma corrente total:I = 12 / 2 = 6 A
Exemplos · Paralelo

Exemplo 2

Três resistores iguais, R = 10 Ω cada, em paralelo, ligados a uma fonte de U = 20 V.
20 V 10 Ω 10 Ω 10 Ω
Pede-se
aA corrente em cada ramo
bA corrente total I
cA resistência equivalente Req
Exemplos · Paralelo

Exemplo 2 · solução

R1 = R2 = R3 = 10 Ω · U = 20 V
20 V 10 Ω 10 Ω 10 Ω
1
Os três ramos estão sob a mesma tensão da fonte:U1 = U2 = U3 = 20 V
2
Resistências iguais sob a mesma tensão conduzem correntes iguais:I1 = I2 = I3 = 20 / 10 = 2 A
3
A corrente total é a soma das três:I = 3 · 2 = 6 A
4
Com n resistores de mesmo valor, a resistência equivalente é R dividido por n:Req = 10 / 3 ≈ 3,33 Ω
✓
A lei de Ohm no resistor equivalente devolve a corrente total:I = 20 / 3,33 ≈ 6 A
Exemplos · Paralelo

Exemplo 3

Dois resistores em paralelo, R1 = 4 Ω e R2 = 12 Ω, ligados a uma fonte de U = 24 V.
24 V 4 Ω 12 Ω
Pede-se
aA corrente em cada ramo
bA corrente total I
cA resistência equivalente Req
Exemplos · Paralelo

Exemplo 3 · solução

R1 = 4 Ω · R2 = 12 Ω · U = 24 V
24 V 4 Ω 12 Ω
1
Os dois ramos recebem a tensão inteira da fonte:U1 = U2 = U = 24 V
2
A corrente de cada ramo sai da lei de Ohm:I1 = 24 / 4 = 6 AI2 = 24 / 12 = 2 A
3
A corrente total é a soma das duas:I = 6 + 2 = 8 A
4
Com dois resistores, vale a forma prática do produto sobre a soma:Req = 4 · 12 / (4 + 12) = 48 / 16 = 3 Ω
✓
A lei de Ohm no resistor equivalente confirma a corrente total:I = 24 / 3 = 8 A
03 Bloco 03

Associação mista

Associação mista

O que é uma associação mista

  • 01Combina trechos em série e em paralelo no mesmo circuito.
  • 02A estratégia é reduzir por partes: calcule a resistência equivalente do trecho mais interno e substitua-o por um único resistor.
  • 03Repita até restar um único Req. Depois, desfaça o caminho para achar as correntes e tensões de cada resistor original.
R1 R2 R3
Misto · no dia a dia

O misto ao seu redor

Instalação real
O quadro da casa
Os circuitos da casa ficam em paralelo entre si, e cada um tem disjuntor e fiação em série com os seus aparelhos.
Grupos
Pisca-pisca moderno
As lâmpadas são divididas em grupos em série, e os grupos são ligados em paralelo. Um grupo que apaga não leva o cordão junto.
Eletrônica
Fita de LED
Fitas e painéis repetem o mesmo desenho: trechos curtos em série, cada um com seu resistor, todos em paralelo na mesma alimentação.
Queda na fiação
A luz que pisca
A resistência dos fios está em série com tudo o que a casa consome em paralelo. O chuveiro liga, a corrente total sobe, a queda nos fios aumenta e a luz enfraquece.
Exemplos · Misto

Exemplo 1

R1 = 4 Ω em série com R2 = 6 Ω e R3 = 3 Ω em paralelo, ligados a uma fonte de U = 12 V.
12 V 4 Ω 6 Ω 3 Ω
Pede-se
aA resistência equivalente Req
bA corrente total I
cA corrente em R2 e em R3
Exemplos · Misto

Exemplo 1 · solução (1 de 2)

R1 = 4 Ω em série com (R2 = 6 Ω // R3 = 3 Ω) · U = 12 V
12 V 4 Ω 6 Ω 3 Ω
1
A redução começa pelo trecho mais interno, que é o paralelo entre R2 e R3:R23 = 6 · 3 / (6 + 3) = 18 / 9 = 2 Ω
2
Com o paralelo reduzido, R1 fica em série com esse resistor equivalente:Req = 4 + 2 = 6 Ω
3
A corrente total sai da lei de Ohm no circuito já reduzido, e é ela que passa por R1:I = U / Req = 12 / 6 = 2 A
4
A queda em R1 vem da lei de Ohm, e o que sobra da tensão da fonte fica no trecho paralelo:U1 = 4 · 2 = 8 VU23 = 12 − 8 = 4 V
Exemplos · Misto

Exemplo 1 · solução (2 de 2)

R1 = 4 Ω em série com (R2 = 6 Ω // R3 = 3 Ω) · U = 12 V
12 V 4 Ω 6 Ω 3 Ω
5
Esses 4 V estão sobre R2 e sobre R3, porque os dois formam o trecho paralelo:I2 = 4 / 6 ≈ 0,67 AI3 = 4 / 3 ≈ 1,33 A
✓
As duas correntes dos ramos somam a corrente total:0,67 + 1,33 = 2 A = I
Exemplos · Misto

Exemplo 2

R1 = 2 Ω em série com R2 = 4 Ω, e esse conjunto em paralelo com R3 = 6 Ω, ligados a uma fonte de U = 9 V.
9 V R1=2Ω R2=4Ω R3=6Ω
Pede-se
aA resistência equivalente Req
bA corrente total I
cA corrente em cada ramo
Exemplos · Misto

Exemplo 2 · solução (1 de 2)

(R1 = 2 Ω + R2 = 4 Ω) // R3 = 6 Ω · U = 9 V
9 V R1=2Ω R2=4Ω R3=6Ω
1
A redução começa pelo trecho em série, que forma o primeiro ramo:R12 = 2 + 4 = 6 Ω
2
Os dois ramos, R12 e R3, estão em paralelo:Req = 6 · 6 / (6 + 6) = 36 / 12 = 3 Ω
3
Cada ramo está ligado aos mesmos dois nós, e recebe a tensão inteira da fonte:U12 = U3 = 9 V
4
As duas resistências de ramo são iguais, então as duas correntes também são:I12 = 9 / 6 = 1,5 AI3 = 9 / 6 = 1,5 A
Exemplos · Misto

Exemplo 2 · solução (2 de 2)

(R1 = 2 Ω + R2 = 4 Ω) // R3 = 6 Ω · U = 9 V
9 V R1=2Ω R2=4Ω R3=6Ω
5
A corrente total é a soma das correntes dos dois ramos:I = 1,5 + 1,5 = 3 A
6
Dentro do primeiro ramo circula 1,5 A, e cada resistor fica com a sua queda:U1 = 2 · 1,5 = 3 VU2 = 4 · 1,5 = 6 V
✓
A lei de Ohm no resistor equivalente confirma a corrente total:I = U / Req = 9 / 3 = 3 A
Exemplos · Misto

Exemplo 3

R1 = 5 Ω em série com um bloco paralelo: R2 = 10 Ω em paralelo com (R3 = 6 Ω em série com R4 = 4 Ω). Fonte de U = 20 V.
20 V R1=5Ω R2=10Ω R3=6Ω R4=4Ω
Pede-se
aA resistência equivalente Req
bA corrente total I
cA tensão em cada um dos quatro resistores
Exemplos · Misto

Exemplo 3 · solução (1 de 2)

R1 = 5 Ω + [R2 = 10 Ω // (R3 = 6 Ω + R4 = 4 Ω)] · U = 20 V
20 V R1=5Ω R2=10Ω R3=6Ω R4=4Ω
1
A redução começa pelo trecho mais interno, a série de R3 com R4:R34 = 6 + 4 = 10 Ω
2
Esse conjunto forma um ramo, que está em paralelo com R2:R234 = 10 · 10 / (10 + 10) = 100 / 20 = 5 Ω
3
Por fim, R1 está em série com o bloco paralelo já reduzido:Req = 5 + 5 = 10 Ω
4
A corrente total sai da lei de Ohm no circuito reduzido, e é ela que passa por R1:I = U / Req = 20 / 10 = 2 A
5
A queda em R1 vem da lei de Ohm, e o resto da tensão fica sobre o bloco paralelo:U1 = 5 · 2 = 10 VU234 = 20 − 10 = 10 V
Exemplos · Misto

Exemplo 3 · solução (2 de 2)

R1 = 5 Ω + [R2 = 10 Ω // (R3 = 6 Ω + R4 = 4 Ω)] · U = 20 V
20 V R1=5Ω R2=10Ω R3=6Ω R4=4Ω
6
Esses 10 V estão sobre R2 e sobre o ramo formado por R3 e R4:I2 = 10 / 10 = 1 AI34 = 10 / 10 = 1 A
7
No ramo R3R4 circula 1 A, e cada resistor fica com a sua queda:U3 = 6 · 1 = 6 VU4 = 4 · 1 = 4 V
✓
As correntes dos dois ramos somam a corrente total:1 + 1 = 2 A = I
Síntese

Série e paralelo, lado a lado

Grandeza Série Paralelo
Corrente
A mesma em todos
I = I1 = I2 = I3
Se divide entre os ramos
I = I1 + I2 + I3
Tensão
Se divide entre os resistores
U = U1 + U2 + U3
A mesma em todos
U = U1 = U2 = U3
Req
Sempre maior que a maior das parcelas
Req = R1 + ... + Rn
Sempre menor que a menor das parcelas
1/Req = 1/R1 + ... + 1/Rn
Em síntese

O que levar desta aula

  • 01Na série, a corrente é única e a tensão se reparte; Req é sempre a soma das partes.
  • 02No paralelo, a tensão é única e a corrente se reparte; Req é sempre menor que a menor parcela.
  • 03Circuitos mistos se resolvem por partes: reduza cada trecho a um único Req, depois desfaça o caminho.
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